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2011河北中考数学试题26题第（3）题详细解答

2011河北中考数学试题26题第（3）题详细解答

26、（2011•河北）如图，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以毎秒1个单位长的运动t秒（t＞0），抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点

为 A （1，0），B （1，﹣5），D （4，0）．

（1）求c，b （用含t的代数式表示）：

（2）当4＜t＜5时，设抛物线分别与线段AB，CD交于点M，N．

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值；

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时， ；

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵 坐标都是整数的点称为“好点”．若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）由抛物线y=x2+bx+c经过点O和点P，将点O与P的坐标代入方程即可求得c，b；

（2）①当x=1时，y=1﹣t，求得M的坐标，则可求得∠AMP的度数，

②由S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM，即可求得关于t的二次函数，列方程即可求得t的值；

（3）根据图形，即可直接求得答案．

解答：解：（1）把x=0，y=0代入y=x2+bx+c，得c=0，

再把x=t，y=0代入y=x2+bx，得t2+bt=0，

∵t＞0，

∴b=﹣t；

（2）①不变．

如图6，当x=1时，y=1﹣t，故M（1，1﹣t），

∵tan∠AMP=1，

∴∠AMP=45°；

②S=S四边形AMNP﹣S△PAM=S△DPN+S梯形NDAM﹣S△PAM= （t﹣4）（4t﹣16）+ [（4t﹣16）+（t﹣1）]×3﹣ （t﹣1）（t﹣1）= t2﹣ t+6．

解 t2﹣ t+6= ，

得：t1= ，t2= ，

∵4＜t＜5，

∴t1= 舍去，

∴t= ．

（3） ＜t＜ ．

点评：此题考查了二次函数与点的关系，以及三角形面积的求解方法等知识．此题综合性很强，难度适中，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用．

河北省中考试卷答案

2009年河北省初中毕业生升学文化课考试

数学试题参考答案

一、选择题

题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

答 案 A A D C B B A B C C D C

二、填空题

13．＞； 14．1.2 × 107； 15．36.4； 16．1； 17．3； 18．20．

三、解答题

19．解：原式=

= ．

当a = 2， 时，

原式 = 2．

【注：本题若直接代入求值，结果正确也相应给分】

20．解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，

∴ED = =12．

在Rt△DOE中，

∵sin∠DOE = = ，

∴OD =13（m）．

（2）OE=

= ．

∴将水排干需：

5÷0.5=10（小时）．

21．解：（1）30%；

（2）如图1；

（3） ；

（4）由于月销量的平均水平相同，从折线的走势看，A品牌的月销量呈下降趋势，而B品牌的月销量呈上升趋势．

所以该商店应经销B品牌电视机．

22．解：（1）－3．

t =－6．

（2）分别将（－4，0）和（－3，－3）代入 ，得

解得

向上．

（3）－1（答案不唯一）．

【注：写出t＞－3且t≠0或其中任意一个数均给分】

23．解：实践应用

（1）2； ． ； ．

（2） ．

拓展联想

（1）∵△ABC的周长为l，∴⊙O在三边上自转了 周．

又∵三角形的外角和是360°，

∴在三个顶点处，⊙O自转了 （周）．

∴⊙O共自转了（ +1）周．

（2） +1．

24．（1）证明：∵四边形BCGF和CDHN都是正方形，

又∵点N与点G重合，点M与点C重合，

∴FB = BM = MG = MD = DH，∠FBM =∠MDH = 90°．

∴△FBM ≌ △MDH．

∴FM = MH．

∵∠FMB =∠DMH = 45°，∴∠FMH = 90°．∴FM⊥HM．

（2）证明：连接MB、MD，如图2，设FM与AC交于点P．

∵B、D、M分别是AC、CE、AE的中点，

∴MD∥BC，且MD = BC = BF；MB∥CD，

且MB=CD=DH．

∴四边形BCDM是平行四边形．

∴ ∠CBM =∠CDM．

又∵∠FBP =∠HDC，∴∠FBM =∠MDH．

∴△FBM ≌ △MDH．

∴FM = MH，

且∠MFB =∠HMD．

∴∠FMH =∠FMD－∠HMD =∠APM－∠MFB =∠FBP = 90°．

∴△FMH是等腰直角三角形．

（3）是．

25．解：（1）0 ，3．

（2）由题意，得

， ∴ ．

，∴ ．

（3）由题意，得 ．

整理，得 ．

由题意，得

解得 x≤90．

【注：事实上，0≤x≤90 且x是6的整数倍】

由一次函数的性质可知，当x=90时，Q最小．

此时按三种裁法分别裁90张、75张、0张．

26．解：（1）1， ；

（2）作QF⊥AC于点F，如图3， AQ = CP= t，∴ ．

由△AQF∽△ABC， ，

得 ．∴ ．

∴ ，

即 ．

（3）能．

①当DE∥QB时，如图4．

∵DE⊥PQ，∴PQ⊥QB，四边形QBED是直角梯形．

此时∠AQP=90°．

由△APQ ∽△ABC，得 ，

即 ． 解得 ．

②如图5，当PQ∥BC时，DE⊥BC，四边形QBED是直角梯形．

此时∠APQ =90°．

由△AQP ∽△ABC，得 ，

即 ． 解得 ．

（4） 或 ．

【注：①点P由C向A运动，DE经过点C．

方法一、连接QC，作QG⊥BC于点G，如图6．

， ．

由 ，得 ，解得 ．

方法二、由 ，得 ，进而可得

，得 ，∴ ．∴ ．

②点P由A向C运动，DE经过点C，如图7．